1. Класичне визначення ймовірності:
Умова: Підкидають правильну монету 3 рази. Знайдіть ймовірність того, що всі рази випаде орел.
Рішення: Для кожного підкидання монети ймовірність випадання орла дорівнює 1/2. Оскільки кожне підкидання монети є незалежним, загальна ймовірність випадання орла тричі поспіль дорівнює (1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8.
2. Несумісні події:
Умова: У коробці є 5 червоних, 3 зелених і 2 синіх кульки. Навмання витягують одну кульку. Яка ймовірність того, що витягнута кулька буде або червона, або зелена?
Рішення: Ймовірності витягнути червону або зелену кульку є несумісними подіями (кулька не може бути одночасно і червоною, і зеленою). Ймовірність витягнути червону кульку: ( 5/10 ), зелену — ( 3/10). Тому ймовірність витягнути або червону, або зелену кульку дорівнює ( 5/10 + 3/10 = 8/10 = 0,8).
3. Незалежні події:
Умова: Підкидають дві правильні гральні кості. Знайдіть ймовірність того, що на обох кубиках випаде 6.
Рішення: Ймовірність того, що на одному кубику випаде 6, дорівнює 1/6. Оскільки підкидання кубиків є незалежними подіями, загальна ймовірність того, що на обох кубиках випаде 6, дорівнює ( 1/6)*(1/6) = (1/36).
4. Умовна ймовірність:
Умова: В коробці 4 білих і 6 чорних кульок. Витягують дві кульки без повернення. Знайдіть ймовірність того, що обидві кульки будуть білими.
Рішення: Ймовірність витягнути білу кульку з першої спроби дорівнює (4/10). Після того, як одну білу кульку витягнуто, в коробці залишаються 3 білі з 9 кульок. Ймовірність того, що друга кулька також біла: (3/9). Отже, загальна ймовірність: (4/10)*(3/9) = 12/90 = 2/15.
5. Теорема Байєса:
Умова: Існує тест на хворобу, який у 95% випадків правильно визначає хворих і в 90% випадків правильно визначає здорових. Відомо, що 2% населення мають цю хворобу. Яка ймовірність того, що людина насправді хвора, якщо її тест дав позитивний результат?
Рішення: Це класична задача на застосування теореми Байєса. Ми повинні знайти умовну ймовірність того, що людина хвора, за умови позитивного тесту. Необхідно розрахувати ймовірності для кількох подій (позитивний тест для хворого, здорового та загальні частоти). Рішення потребує застосування теореми Байєса для отримання правильної відповіді.
6. Геометрична ймовірність:
Умова: Стрілка на круговій діаграмі, поділеній на 8 рівних секторів, зупиняється на одному з секторів. Яка ймовірність того, що стрілка зупиниться на одному з трьох заданих секторів?
Рішення: Ймовірність зупинки стрілки на кожному секторі однакова. Оскільки секторів 8, ймовірність зупинитися на одному з трьох заданих секторів дорівнює (3/8).
Ці задачі охоплюють основні концепції теорії ймовірності: класичні ймовірності, незалежні події, умовні ймовірності та геометричні підходи до ймовірності.
Яка ймовірність випадання орла тричі під час підкидання монети?
ВідповістиВидалитиЙмовірність випадання орла при одному підкиданні монети дорівнює 1/2. Щоб орел випав тричі поспіль, ймовірності для кожного підкидання перемножуються. Тож ймовірність випадання орла тричі поспіль становить 1/8.
ВидалитиЯк змінилася б ймовірність витягнення білих кульок, якби кульки поверталися у коробку після кожної спроби?
ВідповістиВидалитиЯкщо кульки поверталися у коробку після кожної спроби, ймовірність витягнення білих кульок залишалася б сталою при кожному витягуванні. Це означає, що незалежно від кількості спроб, ймовірність витягнути білу кульку не змінювалася б, оскільки загальна кількість кульок у коробці не змінюється. Таким чином, ми завжди мали б однакову ймовірність витягнення білої кульки на кожному кроці.
ВидалитиЯка ймовірність того, що витягнута кулька буде синьою або зеленою? Як би змінилася ймовірність, якби кількість кульок збільшилася?
ВідповістиВидалитиЯкщо у нас є, наприклад, 5 синіх і 3 зелені кульки, то кількість сприятливих випадків буде 5 + 3 = 8, а загальна кількість кульок — 5 + 3 + інших кольорів. Якщо ми збільшуємо загальну кількість кульок, але пропорція синіх і зелених кульок залишається такою ж, ймовірність витягнення синьої або зеленої кульки не зміниться. Однак, якщо ми додаємо більше кульок інших кольорів, загальна ймовірність витягнення синіх або зелених кульок зменшиться, оскільки зросте кількість можливих варіантів, не сприятливих для події.
ВидалитиЯка ймовірність того, що стрілка зупиниться на одному з трьох заданих секторів , якщо кругова діаграма поділена на 8 рівних секторів?
ВідповістиВидалитиЩоб знайти ймовірність того, що стрілка зупиниться на одному з трьох заданих секторів на круговій діаграмі, яка поділена на 8 рівних секторів, потрібно скористатися формулою ймовірності. Ймовірність \( P \) визначається як відношення кількості сприятливих подій (у нашому випадку, 3 задані сектори) до загальної кількості можливих подій (8 секторів).
ВидалитиОтже, ймовірність того, що стрілка зупиниться на одному з трьох заданих секторів, становить 0,375.